Códigos corretores de erros.

Abstract

Os códigos corretores de erros são ferramentas essenciais na comunicação eletrônica, em virtude da sua confiabilidade ao garantirem a integridade da informação transmitida. Nosso objetivo nesse trabalho é apresentarmos, com um viés matemático, a construção dos códigos lineares, códigos cíclicos e códigos BCH, e mostrarmos como ocorre o processo de detecção e correção de erros de cada um. Em um primeiro momento, a principal motivação para esse estudo é entendermos como a álgebra linear está relacionada aos códigos lineares através de conceitos como espaços vetoriais, transformações lineares e suas respectivas matrizes, além de observarmos como alguns resultados desses códigos, herdados de espaços vetoriais, facilitam vários dos cálculos necessários para codificarmos e decodificarmos as suas palavras. Em um segundo momento, nossa motivação é entendermos como alguns resultados da álgebra abstrata, relacionados a corpos finitos, anéis, ideais e anéis de polinômios, possibilitam definirmos os códigos cíclicos e BCH com a estrutura adicional de ideal, a qual permite o desenvolvimento de algoritmos de codificação e decodificação mais eficientes, do ponto de vista matemático, do que para os códigos lineares. Além disso, como os códigos BCH se destacam dos outros dois quando utilizamos conceitos como extensões de corpos e de raízes da unidade em sua construção. Para isso, exemplificamos cada um dos códigos corretores de erros estudados.